Visita Encydia-Wikilingue.com

Пи

пи - Wikilingue - Encydia

Мозаика во входе в математическое здание, Берлинский Технологический институт

  Часть ряда статей о
Математический постоянный π

Ошибка, создающая уменьшенное изображение:

Использование: Область диска · Окружность
 · В других формулах

Свойства: Нелогичность · Превосходство
 · Меньше чем 22/7

Ценность: Приближения · Запоминание

Люди: Архимед · Zu Chongzhi
 · Madhava Sangamagrama · Уильям Джонс · Джон Макхин · Джон Ренч

История: Хронология · Книга

Культура: Законодательство · Праздник

Связанный: Добивание невозможного · Базельская проблема · Другой

π (иногда письменное пи) математическая константа, ценность которой - отношение окружности любого круга к ее диаметру в Евклидовом пространстве; это - та же самая ценность как отношение области круга к квадрату ее радиуса. Это приблизительно равно 3.141593 в обычном десятичном примечании. Много формул от математики, науки, и разработки вовлекают π, который является одной из самых важных математических и физических констант. В отличие от многих физических констант, пи - безразмерное количество, означая, что это - просто число без физических единиц.

π - иррациональное число, что означает, что его ценность не может быть выражена точно как фракция m/n, где м. и n - целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается или повторяется. Это - также трансцендентное число, которое подразумевает, между прочим, что никакая конечная последовательность алгебраических операций на целых числах (полномочия, корни, суммы, и т.д.) не может быть равной ее ценности; доказательство этого было последним достижением в математической истории и существенном результате немецкой математики 19-ого столетия. Всюду по истории математики было большое усилие определить π более точно и понять его характер; обаяние с числом даже перенесло в нематематическую культуру.

Вероятно, из-за простоты его определения, понятие π стало раскопанным в массовой культуре, в известной степени намного больше чем почти любая другая математическая конструкция. [1] Это - возможно, наиболее распространенная земля между математиками и нематематиками. [2] Отчеты о последнем, наиболее - точное вычисление π (и связанные трюки) общие сообщения печати. [3] [4] [5]

Греческая буква π, часто разъяснял пи в тексте, был сначала принят для числа как сокращение греческого слова для периметра "" (или как сокращение для "периметра/диаметра") Уильямом Джонсом в 1707.

Константа также известна как Константа Архимеда, после Архимеда Сиракуз, хотя это имя необычно в современных Англоговорящих контекстах.

Содержание

Основные принципы

Письмо π

Строчные буквы π используются, чтобы символизировать константу

Название греческой буквы π является пи. [6] пи имени обычно используется в качестве альтернативы использованию греческой буквы. Как математический символ, греческая буква не использована для своей выгоды (Π) даже в начале предложения, и вместо этого нижний регистр (π) используется в начале предложения. Обращаясь к этой константе, символ π всегда объявляется "пирогом" на английском языке, который является обычным английским произношением греческой буквы. Константу называют "π", потому что "π" - первое письмо от греческого слова  (периметр), вероятно обращаясь к его использованию в периметре/диаметре формулы, который является постоянным для всех кругов, слово "периметр", являющийся синонимичным здесь с "окружностью". [7] Уильям Джонс был первым, чтобы использовать греческую букву таким образом, в 1707, [8], и она была позже популяризирована Леонхардом Эулером в 1737. [9] [10] Уильям Джонс написал:

Есть различные другие способы найти Длины или области особых Линий Кривой, или Самолеты, которые могут очень облегчить Практику; что касается случая, в Кругу, Диаметр к Окружности как 1 к ...  3.14159, &c. = π [11]

У пи заглавной буквы (Π) есть абсолютно различное математическое значение; это используется для того, чтобы выразить продукты (заметьте, что слово "продукт" начинается с письма "p" точно так же, как "периметр/диаметр" делает).

Геометрическое определение

В Евклидовой геометрии самолета π определен как отношение окружности круга C к ее диаметру d: [7]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = \frac {C} {d}.


Отношение C/d является постоянным, независимо от размера круга. Например, если у круга будет дважды диаметр d другого круга, то у этого также будет дважды окружность C, сохраняя отношение C/d.

Альтернативно π может быть определен как отношение области круга в область квадрата, сторона которого равна радиусу r круга: [7] [12]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = \frac {r^2}.


Эти определения зависят от результатов Евклидовой геометрии, таких как факт, что все круги подобны, и факт, что правые стороны этих двух уравнений равны друг другу (то есть область диска Cr/2). Эти два геометрических определения можно считать проблемой, когда π происходит в областях математики, которые иначе не вовлекают геометрию. Поэтому математики часто предпочитают определять π независимо от геометрии, вместо этого выбирая одно из ее аналитических свойств как определение. Общий выбор состоит в том, чтобы определить π как дважды самый маленький положительный x, для которого, тригонометрическая функция потому что (x) равняется нолю. [13]

Ошибка, создающая уменьшенное изображение:
Окружность = π × диаметр
Ошибка, создающая уменьшенное изображение:
Область круга равняется π временам область заштрихованного квадрата
Ошибка, создающая уменьшенное изображение:
Поскольку Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi

трансцендентное число, добивание невозможного не возможно в конечном числе шагов, используя классические инструменты компаса и straightedge.

Нелогичность и превосходство

π - иррациональное число, означая, что он не может быть написан как отношение двух целых чисел. π - также трансцендентное число, означая, что нет никакого полиномиала с рациональными коэффициентами, для которых π - корень. [14] важное последствие превосходства π - факт, что это не конструируемо. Поскольку координаты всех пунктов, которые могут быть построены с компасом и straightedge, являются конструируемыми числами, невозможно добиться невозможного: то есть, невозможно построить, используя компас и straightedge один, квадрат, область которого равна области данного круга. [15] Это является исторически существенным, для того, чтобы добиться невозможного одна из легко понятых элементарных проблем геометрии, оставленных нам от старины; много любителей в современные времена попытались решить каждую из этих проблем, и их усилия иногда изобретательны, но в этом случае, обреченные на отказ: вовлечен факт, не всегда понимаемый под любителем. [цитата, необходимая]

Десятичное представление

Десятичное представление π, усеченных к 50 десятичным разрядам: [16]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi \approx 3.14159~26535~89793~23846~26433~83279~50288~41971~69399~37510 \, \!


Различные вебсайты онлайн обеспечивают π еще многим цифрам. [17], В то время как десятичное представление π было вычислено к больше чем триллиону (1012) цифры, [18], элементарные заявления, такие как оценка окружности круга, будут редко требовать больше чем дюжины десятичных разрядов. Например, десятичное представление π, усеченных к 11 десятичным разрядам, достаточно хорошо, чтобы оценить окружность любого круга, который соответствует в земле ошибке меньше чем одного миллиметра, и десятичное представление π, усеченных к 39 десятичным разрядам, достаточно, чтобы оценить окружность любого круга, который помещается в заметную вселенную с точностью, сопоставимой с радиусом водородного атома. [19] [20]

Поскольку π - иррациональное число, его десятичное представление не повторяется, и поэтому не заканчивается. Эта последовательность неповторяющихся цифр очаровала математиков и непрофессионалов подобно, и большие усилия за прошлые несколько столетий прикладывались к вычислению когда-либо большего количества этих цифр и исследования π 's свойства. [21] Несмотря на большую аналитическую работу, и суперкомпьютерные вычисления, которые определили более чем 1 триллион цифр десятичного представления π, никакая простая основа 10 образцов в цифрах, когда-либо находились. [22] Цифры десятичного представления π доступны на многих веб-страницах, и есть программное обеспечение для того, чтобы вычислить десятичное представление π к миллиардам цифр на любом персональном компьютере.

Оценка π

Система числа Приближение Неудавшихся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi

Набор из двух предметов 11.00100100001111110110... [23]
Десятичное число 3.14159265358979323846264338327950288...
Шестнадцатеричный 3.243F6A8885A308D31319... [24]
Рациональные приближения 3, 227, 333106, 355113, 103993/33102... [25]

(перечисленный в порядке увеличивающейся точности)

Длительная фракция [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1...] [26]

(Эта фракция не является периодической. Показанный в линейном примечании)

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959

Оценка π, точных к 1120 десятичным цифрам, была получена, используя управляемый механизмом калькулятор в 1948, Джоном Ренчем и Леви Смитом. Это было самой точной оценкой π прежде, чем электронно-вычислительные машины вошли в употребление. [27]

Самое раннее числовое приближение π - почти наверняка ценность 3. [28] В случаях, где немного точности требуется, это может быть приемлемая замена. То, что 3 недооценка, следует из факта, что это - отношение периметра надписанный регулярный шестиугольник к диаметру круга.

π может быть опытным путем оценен при рисовании большого круга, тогда измеряя его диаметр и окружность и деля окружность диаметром. Другой основанный на геометрии подход, приписанный Архимеду, [29], должен вычислить периметр, Pn, регулярного многоугольника с n сторонами, ограниченными вокруг круга с диаметром d. Тогда вычислите предел последовательности, поскольку n увеличивается до бесконечности:

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = \lim _ {n \to \infty} \frac {P _ {n}} {d}.


Этот предел сходится, потому что, чем больше примыкает, многоугольник имеет, тем ближе отношение приближается к . Архимед определил точность этого подхода, сравнивая периметр ограниченного многоугольника с периметром регулярного многоугольника с тем же самым числом сторон, надписанных в кругу. Используя многоугольник с 96 сторонами, он вычислил фракционный диапазон: [30]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): 3\tfrac {10} {71} <\pi <3\tfrac {1} {7}.

π может также быть вычислен, используя просто математические методы. Из-за необыкновенной природы π, нет никаких закрытых выражений формы для числа с точки зрения алгебраических чисел и функций. [14] Формулы для того, чтобы вычислить π, используя элементарную арифметику как правило включают ряд или примечание суммирования (такой как "..."), который указывает, что формула - действительно формула для бесконечной последовательности приближений к π. [31], Чем больше сроков включало в вычисление, тем ближе к π результат доберется.

Большинство формул, используемых для того, чтобы вычислить ценность π, имеет желательные математические свойства, но является трудным понять без фона в тригонометрии и исчислении. Однако, некоторые довольно просты, таковы как эта форма ряда Грегори-Лейбница: [32]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = 4\sum ^\infty _ {k=0} \frac {(-1) ^k} {2k+1} = \frac {4} {1}-\frac {4} {3} + \frac {4} {5}-\frac {4} {7} + \frac {4} {9}-\cdots. \!


В то время как тот ряд легко написать и вычислить, не немедленно очевидно, почему это приводит к . Кроме того, этот ряд сходится настолько медленно, что почти 300 сроков необходимы, чтобы вычислить π правильно к 2 десятичным разрядам. [33] Однако, вычисляя этот ряд несколько более умным способом, беря середины частичных сумм, это может быть сделано сходиться намного быстрее. Позвольте последовательности

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi _ {0,1} = \frac {4} {1}, \\pi _ {0,2} = \frac {4} {1}-\frac {4} {3}, \\pi _ {0,3} = \frac {4} {1}-\frac {4} {3} + \frac {4} {5}, \\pi _ {0,4} = \frac {4} {1}-\frac {4} {3} + \frac {4} {5}-\frac {4} {7}, \cdots \!


и затем определите

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi _ {я, j} = \frac {\pi _ {i-1, j} + \pi _ {i-1, j+1}} {2} \text {для всех} я, j\ge 1


тогда вычисляя Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi _ {10,10}

займет подобное время вычисления к вычислению 150 сроков оригинального ряда в манере грубой силы, и Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi _ {10,10} =3.141592653\ldots, исправьте к 9 десятичным разрядам. Это вычисление - пример преобразования ван Виджнгэардена. [34]

Во многих целях, 3.14 или 22/7 достаточно близко, хотя инженеры часто используют 3.1416 (5 значащих цифр) или 3.14159 (6 значащих цифр) для большей точности. Приближения 22/7 и 355/113, с 3 и 7 значащими цифрами соответственно, получены из простого длительного расширения фракции π. Приближение 355/113 (3.1415929...) является лучшим, которое может быть выражено нумератором с четырьмя цифрами или с тремя цифрами и знаменателем; следующее хорошее приближение 52163/16604 (3.141592387...) требует намного больших чисел, из-за большого количества 292 в длительном расширении фракции π. [25]

История

Пирамида Хеопса, как оценивается, первоначально была 280 локтевыми костями высоко 440 локтевыми костями вдоль каждой стороны. Отношение 440/280 приблизительно равно π/2.

Самое раннее свидетельствуемое сознательное использование точного приближения для длины окружности относительно ее радиуса имеет 3 + 1/7 в проектах Старых пирамид Королевства в Египте. Большая Пирамида в Гизе, построенный c.2550-2500 до н.э, была построена с периметром 1760 локтевых костей и высотой 280 локтевых костей; отношение 1760/280 ≈ 2 π. Египтологи, такие как профессора Флиндерс Петри [35] и И.Е.С Эдвардс [36] показали, что эти круглые пропорции были сознательно выбраны по символическим причинам Старыми писцами Королевства и архитекторами. [37] [38] те же самые отвращающие беду пропорции использовались ранее в Пирамиде Meidum c.2600 до н.э. Это заявление археологически свидетельствуется, тогда как текстовые доказательства не выживают с этого раннего периода.

Ранняя история π из текстовых источников примерно параллельна развитию математики в целом. [39] Некоторые авторы делят продвижение на три периода: древний период, во время которого π был изучен геометрически, классическая эра после развития исчисления в Европе вокруг 17-ого столетия, и возраст компьютеров. [40]

Старина

Самая ранняя известная дословно свидетельствуемая дата приближений приблизительно с 1900 до н.э; они - 256/81 (Египет) и 25/8 (Вавилония), оба в пределах 1 % истинного значения. [7] индийский текст Shatapatha Brahmana дает π как 339/108 ≈ 3.139. Дополнительно, Ветхий Завет обсуждает церемониальный бассейн в храме Короля Соломона, имея диаметр десяти локтевых костей, и окружность тридцати локтевых костей, подразумевая приблизительную стоимость три для пи; [41] [28], хотя, возможно, Король Соломон знал лучше.

Архимед использовал метод истощения, чтобы приблизить ценность π.

Архимед (287–212 до н.э) был первым, чтобы оценить π строго. Он понял, что его величина может быть ограничена снизу и выше надписывая круги в регулярных многоугольниках и вычисляя соответствующие периметры внешних и внутренних многоугольников: [28] При использовании эквивалента 96-сторонних многоугольников, он оказался что Неудавшимся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): 3\tfrac {10} {71}

<π <Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): 3\tfrac17. [28] среднее число этих ценностей - приблизительно 3.14185.

Птолемей, в его Альмагесте, дает ценность 3.1416, который он, возможно, получил из Apollonius Perga. [42]

Вокруг нашей эры 265, математик Королевства Wei Луи Хуи обеспечил простой и строгий повторяющийся алгоритм, чтобы вычислить π до любой степени точности. Сам он осуществил вычисление к с 3072 полувагонами (то есть 3072-сторонний многоугольник) и получил приблизительную стоимость для π 3.1416. [43] Позже, Луи Хуи изобрел быстрый метод вычисления π и получил приблизительную стоимость 3.14 с только с 96 полувагонами, [43], используя в своих интересах факт, что различие в области последовательных многоугольников формирует геометрический ряд с фактором 4.

Приблизительно 480, китайский математик Зу Чонгжи продемонстрировал, что π ≈ 355/113, и показал, что 3.1415926 < π < 3.1415927 [43] алгоритм Луи Хуи использования относился к с 12288 полувагонами. Эта ценность осталась бы самым точным приближением π, доступных в течение следующих 900 лет.

Мэймонайдс упоминает с уверенностью нелогичность π в 12-ом столетии. [44] Это было доказано в 1768 Йоханом Генрихом Ламбертом. [45] В 20-ом столетии, доказательства были найдены, которые не требуют никакого необходимого как условие знания вне интегрального исчисления. Один из тех, из-за Ивана Найвена, широко известен. [46] [47] несколько более раннее подобное доказательство Мэри Картрайт. [48]

Второе Тысячелетие нашей эры

π алгоритм Луи Хуи
π алгоритм Архимеда

До второго тысячелетия нашей эры, оценки π были точны меньше чем к 10 десятичным цифрам. Следующие главные авансы в исследовании π шли с развитием бесконечного ряда и впоследствии с открытием исчисления, которые разрешают оценку π с любой желаемой точностью, рассматривая достаточно много сроков соответствующего ряда. Приблизительно в 1400, Madhava Sangamagrama счел первое известным такой ряд:

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): {\pi} = 4\sum ^\infty _ {k=0} \frac {(-1) ^k} {2k+1} = \frac {4} {1} - \frac {4} {3} + \frac {4} {5} - \frac {4} {7} + \frac {4} {9} - \frac {4} {11} + \cdots \!


Это теперь известно как ряд Мадхава-Лейбница [49] [50] или ряд Грегори-Лейбница, так как это было открыто вновь Джеймсом Грегори и Готтфридом Лейбницем в 17-ом столетии. К сожалению, темп конвергенции также не спешит вычислять много цифр практически; приблизительно 4 000 сроков должны быть суммированы, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако, преобразовывая ряд в

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \begin {выравнивают} \pi &= \sqrt {12} \sum ^\infty _ {k=0} \frac {(-3) ^ {-k}} {2k+1} = \sqrt {12} \sum ^\infty _ {k=0} \frac {(-\frac {1} {3}) ^k} {2k+1} \\&= \sqrt {12}, \left (1-{1\over 3\cdot3} + {1\over5\cdot 3^2} - {1\over7\cdot 3^3} + \cdots\right), \end {выравнивают}


Madhava смог оценить π как 3.14159265359, который правилен к 11 десятичным разрядам. Рекорд был побит в 1424 персидским математиком, Jamshīd al-Kāshī, кто дал оценку π, который правилен к 16 десятичным цифрам.

Первый главный европейский вклад начиная с Архимеда был сделан немецким математиком Лудолфом ван Сеуленом (1540–1610), кто использовал геометрический метод, чтобы дать оценку π, который правилен к 35 десятичным цифрам. Он столь гордился вычислением, которое потребовало большей части его жизни, что ему выгравировали цифры в его надгробную плиту. [51] Пи иногда называют "Константой Людольфа", хотя не так часто, как это называют "Константой Архимеда." [52]

В то же самое время методы исчисления и определение бесконечного ряда и продуктов для геометрических количеств начали появляться в Европе. Первой такое представление была формула Виета,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac2\pi = \frac {\sqrt2} 2 \cdot \frac {\sqrt {2 +\sqrt2}} 2 \cdot \frac {\sqrt {2 +\sqrt {2 +\sqrt2}}} 2 \cdot \cdots \!


найденный Франсуа Виэтом в 1593. Другой известный результат - продукт Уоллиса,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {\pi} {2} = \prod ^\infty _ {k=1} \frac {(2 k) ^2} {(2 k) ^2-1} = \frac {2} {1} \cdot \frac {2} {3} \cdot \frac {4} {3} \cdot \frac {4} {5} \cdot \frac {6} {5} \cdot \frac {6} {7} \cdot \frac {8} {7} \cdot \frac {8} {9} \cdots\= \frac {4} {3} \cdot \frac {16} {15} \cdot \frac {36} {35} \cdot \frac {64} {63} \cdots \!


Джон Уоллис в 1655. Сам Исаак Ньютон получил ряд для π и вычислил 15 цифр, хотя он позже признавался: "Я стыжусь сказать Вам тому, сколько чисел я нес эти вычисления, не имея никакой другой бизнес в то время." [53]

В 1706 Джон Макхин был первым, чтобы вычислить 100 десятичных чисел π, используя обратную тригонометрическую функцию arctan в формуле

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {\pi} {4} = 4 \, \arctan \frac {1} {5} - \arctan \frac {1} {239} \!


с

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \arctan \, x = \sum ^\infty _ {k=0} \frac {(-1) ^k x ^ {2k+1}} {2k+1} = x - \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} - \frac {x^7} {7} + \cdots \!


Формулы этого типа, теперь известного как формулы подобные Machin, использовались, чтобы установить несколько последовательных рекордов и оставались самым известным методом для того, чтобы вычислить π хорошо в возраст компьютеров. Замечательный рекорд был установлен вычисляющим чудом Заккарайас Дэз, который в 1844 использовал формулу подобную Machin, чтобы вычислить 200 десятичных чисел π в его голове по воле Gauss. Лучшая ценность в конце 19-ого столетия происходила из-за Уильяма Шэнкса, который занял 15 лет, чтобы вычислить π с 707 цифрами, хотя должный к ошибке, только первые 527 были правильны. (Чтобы избежать таких ошибок, современные рекордные вычисления любого вида часто выполняются дважды, с двумя различными формулами. Если результатами будет то же самое, то они, вероятно, будут правильны.)

Теоретические авансы в 18-ом столетии привели к способности проникновения в суть о π 's природа, которая не могла быть достигнута посредством одного только числового вычисления. Йохан Генрих Ламберт доказал нелогичность π в 1761, и Адриен-Мари Леджендр также доказал в 1794 π2, чтобы быть иррациональным. Когда Леонхард Эулер в 1735 решил известную Базельскую проблему – обнаружение точной ценности

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \sum ^\infty _ {k=1} \frac {1} {k^2} = \frac {1} {1^2} + \frac {1} {2^2} + \frac {1} {3^2} + \frac {1} {4^2} + \cdots \!


который является π2/6, он установил глубокую связь между π и простыми числами. И Legendre и Юлер размышляли, что π мог бы быть необыкновенным, который был наконец доказан в 1882 Фердинандом фон Линдеманом.

Вычисление в веке компьютеров

Компьютеры используются не только, чтобы вычислить цифры π, но также и продемонстрировать понятие посредством мультипликации.

Хотя фактически физик нуждается только в 39 цифрах Пи, чтобы сделать круг размером заметной вселенной точный к одному атому водорода, число непосредственно, поскольку математическое любопытство создало много проблем в различных областях.

Появление компьютеров в 20-ом столетии привело к увеличенному уровню новых π отчетов вычисления. Джон фон Нойман и др. использовал ENIAC, чтобы вычислить 2037 цифр π в 1949, вычисление, которое заняло 70 часов. [54] [55] Дополнительные тысячи десятичных разрядов были получены в следующие десятилетия, с миллионом вехи цифры прошел в 1973. Продвижение не происходило только из-за более быстрых аппаратных средств, но также и новых алгоритмов. Одно из самых существенных событий было открытием быстрого Фурье, преобразовывают (FFT) в 1960-ых, который позволяет компьютерам выполнять арифметику на чрезвычайно больших количествах быстро.

В начале 20-ого столетия индийский математик Сриниваса Рамануджэн нашел много новых формул для π, некоторые замечательный для их элегантности, математической глубины и быстрой конвергенции. [56] Одна из его формул - ряд,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {1} {\pi} = \frac {2 \sqrt 2} {9801} \sum _ {k=0} ^ \infty \frac {(4 k)! (1103+26390k)} {(k!) ^4 396 ^ {4 k}} \!


где k! факториал k, и связанный, найденный братьями Chudnovsky в 1987,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {426880 \sqrt {10005}} {\pi} = \sum _ {k=0} ^ \infty \frac {(6 k)! (13591409 + 545140134 k)} {(3 k)! (k!) ^3 (-640320) ^ {3 k}} \!


которые поставляют 14 цифр за термин. [56] Chudnovskys использовал эту формулу, чтобы установить несколько π вычислительные рекорды в конце 1980-ых, включая первое вычисление более чем одного миллиарда (1 011 196 691) десятичные числа в 1989. Это остается предпочтительной формулой для вычислительного программного обеспечения π, которое бежит на персональных компьютерах, в противоположность суперкомпьютерам, используемым, чтобы установить современные рекорды.

Принимая во внимание, что ряды как правило увеличивают точность с установленной суммой для каждого добавленного термина, там существуйте повторяющиеся алгоритмы, которые умножают число правильных цифр в каждом шаге, с нижней стороной, что каждый шаг вообще требует дорогого вычисления. Прогресс был добит в 1975, когда Ричард Брент и Юджин Саламин независимо обнаружили алгоритм Брента-Salamin, который использует только арифметику, чтобы удвоить число правильных цифр в каждом шаге. [57] алгоритм состоит из урегулирования

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac {1} {\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac {1} {4} \quad \quad \quad p_0 = 1 \!


и повторение

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): _ {n+1} = \frac {a_n+b_n} {2} \quad \quad \quad b _ {n+1} = \sqrt {a_n b_n} \!

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): t _ {n+1} = t_n - p_n (a_n-a _ {n+1}) ^2 \quad \quad \quad p _ {n+1} = 2 p_n \!


до и миллиард достаточно близки. Тогда оценкой для π дают

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi \approx \frac {(a_n + b_n) ^2} {4 t_n}. \!


Используя эту схему, 25 повторений достаточны, чтобы достигнуть 45 миллионов правильных десятичных чисел. Подобный алгоритм, которым четверки точность в каждом шаге были найдены Джонатаном и Питером Борвеином. [58] методы использовались Yasumasa Kanada и командой, чтобы установить большинство π рекордов вычисления с 1980, до вычисления 206,158,430,000 десятичных чисел π в 1999. С января 2010 отчет - почти 2.7 триллиона цифр. [59] Это бьет предыдущий рекорд 2,576,980,370,000 десятичных чисел, установленных Daisuke Takahashi на Системе T2K-Tsukuba, суперкомпьютере в университете Tsukuba к северо-востоку от Токио. [60]

Важное недавнее развитие было формулой Bailey–Borwein–Plouffe (формула BBP), обнаруженный Саймоном Плуффом и назвало в честь авторов бумаги, в которой формула была сначала издана, Дэвид Х. Бэйли, Питер Борвеин, и Саймон Плуфф. [61] формула,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = \sum _ {k=0} ^ \infty \frac {1} {16^k} \left (\frac {4} {8 k + 1} - \frac {2} {8 k + 4} - \frac {1} {8 k + 5} - \frac {1} {8 k + 6} \right),


замечательно, потому что это позволяет извлекать любого шестнадцатеричного человека или двоичная цифра π, не вычисляя все предыдущие. [61] Между 1998 и 2000, распределенный вычислительный проектный PiHex использовал модификацию формулы BBP из-за Фабриса Беллара, чтобы вычислить quadrillionth (1,000,000,000,000,000:th) часть π, который, оказалось, был 0. [62]

Если формула формы

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = \sum _ {k=0} ^ \infty \frac {1} {b ^ {ck}} \frac {p (k)} {q (k)},


были найдены, где b и c - положительные целые числа и p, и q - полиномиалы с неподвижной степенью и коэффициентами целого числа (как в формуле BPP выше), это было бы одним самые эффективные способы вычислить любую цифру π в любом положении в основе bc, не вычисляя все предыдущие цифры в той основе, во время только в зависимости от размера целого числа k и на неподвижной степени полиномиалов. Plouffe также описывает такие формулы как интересные для вычислительных чисел класса SC *, в логарифмически многочленном космосе и почти линейное время, завися только от размера (порядок величины) целого числа k, и требуя скромных вычислительных ресурсов. Предыдущая формула (найденный Plouffe для π с b=2 и c=4, но также и найденный для регистрации (9/10) и для нескольких других иррациональных констант), подразумевает, что π - число SC*.

В 2006, Саймон Плуфф, используя алгоритм отношения целого числа PSLQ, нашел серию формул. [63] Позволяют q = e π (константа Гелфонда), тогда

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {\pi} {24} = \sum _ {n=1} ^ \infty \frac {1} {n} \left (\frac {3} {q^n-1} - \frac {4} {q ^ {2n}-1} + \frac {1} {q ^ {4n}-1} \right)


Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {\pi^3} {180} = \sum _ {n=1} ^ \infty \frac {1} {n^3} \left (\frac {4} {q^n-1} - \frac {5} {q ^ {2n}-1} + \frac {1} {q ^ {4n}-1} \right)


и другие формы,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi^k = \sum _ {n=1} ^ \infty \frac {1} {n^k} \left (\frac {q^n-1} + \frac {b} {q ^ {2n}-1} + \frac {c} {q ^ {4n}-1} \right)


где k является нечетным числом, и abc являются рациональными числами.

В предыдущей формуле, если k имеет форму 4 м. + 3, то у формулы есть особенно простая форма,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): p\pi^k = \sum _ {n=1} ^ \infty \frac {1} {n^k} \left (\frac {2 ^ {k-1}} {q^n-1} - \frac {2 ^ {k-1} +1} {q ^ {2n}-1} + \frac {1} {q ^ {4n}-1} \right)


для некоторого рационального числа p, где знаменатель чрезвычайно factorable число, хотя никакое строгое доказательство еще не было дано.

Пи и продолжало фракцию

Последовательность частичных знаменателей простой длительной фракции π не показывает очевидного образца: [26]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84, \cdots]

или

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi=3 +\textstyle \frac {1} {7 +\textstyle \frac {1} {15 +\textstyle \frac {1} {1 +\textstyle \frac {1} {292 +\textstyle \frac {1} {1 +\textstyle \frac {1} {1 +\textstyle \frac {1} {1 +\cdots}}}}}}}


Однако, там обобщены продолженные фракции для π с совершенно регулярной структурой, такие как: [64]

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi =\textstyle \frac {4} {1 +\textstyle \frac {1^2} {2 +\textstyle \frac {3^2} {2 +\textstyle \frac {5^2} {2 +\textstyle \frac {7^2} {2 +\textstyle \frac {9^2} {2 +\textstyle \frac {11^2} {2 +\cdots}}}}}}} = 3 +\textstyle \frac {1^2} {6 +\textstyle \frac {3^2} {6 +\textstyle \frac {5^2} {6 +\textstyle \frac {7^2} {6 +\textstyle \frac {9^2} {6 +\textstyle \frac {11^2} {6 +\cdots}}}}}} = \textstyle \frac {4} {1 +\textstyle \frac {1^2} {3 +\textstyle \frac {2^2} {5 +\textstyle \frac {3^2} {7 +\textstyle \frac {4^2} {9 +\textstyle \frac {5^2} {11 +\cdots}}}}}}


Запоминание цифр

Последние десятилетия видели скачок в отчете для числа запоминаемых цифр.

Задолго до того, как компьютеры использовались в вычислении π, запоминая номер записи цифр стал навязчивой идеей для некоторых людей. В 2006, Акира Харагучи, отставной японский инженер, утверждала, что рассказала 100 000 десятичных разрядов. [65] Это, однако, должно все же быть проверено Мировыми рекордами Guinness. Признанный Guinness отчет для помнивших цифр π - 67 890 цифр, проводимых Лу Чэо, 24-летним аспирантом из Китая. [66] ему потребовались 24 часа и 4 минуты, чтобы рассказать к 67,890-ому десятичному разряду π без ошибки. [67]

17-ого июня 2009 Андрей Слюсарчук, Украинский язык нейрохирург, врач и преподаватель утверждал, что запомнил 30 миллионов цифр пи, которые были напечатаны в 20 объемах текста. [68], Хотя он не рассказывал все 30 миллионов цифр, которые он утверждает, что запомнил, СМИ утверждают, что он смог рассказать любые беспорядочно отобранные последовательности из печатного текста этих 30 миллионов цифр.

Есть много способов запомнить π, включая использование "piems", которые являются стихами, которые представляют π в пути, таким образом, что длина каждого слова (в письмах) представляет цифру. Вот пример piem, первоначально разработанного сэром Джеймсом Джинсом: Как я нуждаюсь (или: хочу) напиток, алкоголик в природе (или: конечно), после тяжелых лекций (или: главы) вовлекающий квантовую механику. [69] [70] Уведомление, как у первого слова есть 3 письма, второе слово, имеет 1, третье имеет 4, четвертое имеет 1, пятое имеет 5, и так далее. Каденция Cadaeic содержит первые 3835 цифр π в этой манере. [71] Piems связаны со всей областью юмористических все же серьезное исследование, которое вовлекает использование мнемонических методов, чтобы помнить цифры π, известного как piphilology. На других языках есть подобные методы запоминания. Однако, этот метод оказывается неэффективным для больших запоминаний π. Другие методы включают образцы запоминания в числа и метод мест. [72] [73]

Нерешенные вопросы

Самый неотложный нерешенный вопрос о π - является ли это нормальным числом — происходит ли любой блок цифры в расширении π так часто, как можно было бы статистически ожидать, были ли цифры произведены полностью "беспорядочно", и что это верно в каждой основе целого числа, не только базируются 10. [74] Современные знания по этому вопросу очень слабы; например, это не даже известно, какая из цифр 0..., 9 происходят бесконечно часто в десятичном расширении π, [75], хотя ясно, что по крайней мере две таких цифры должны происходить бесконечно часто, так как иначе π был бы рационален, который это не.

В 2000 стена замка и Крэндол показали, что существование вышеупомянутой формулы Bailey-Borwein-Plouffe и подобных формул подразумевает, что нормальность в основе 2 из π и различных других констант может быть уменьшена до вероятной догадки теории хаоса. [76]

Это также неизвестно, независимы ли π и e алгебраически, хотя Юрий Нестеренко доказал алгебраическую независимость {π, e π, Γ (1/4)} в 1996. [77]

Используйте в математике и науке

π является вездесущим в математике, науке, и разработке. [78] Это появляется даже в местах, которые испытывают недостаток в очевидной связи с кругами Евклидовой геометрии. [79]

Геометрия и тригонометрия

Для любого круга с радиусом r и диаметром d = 2r, окружность - πd, и область - πr2. Далее, π появляется в формулах для областей и объемов многих других геометрических форм, основанных на кругах, таких как эллипсы, сферы, конусы, и торусы. [80] Соответственно, π появляется в определенных интегралах, которые описывают окружность, область или объем форм, произведенных кругами. В основном случае половина области диска единицы дана интегралом: [81] Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \int _ {-1} ^1 \sqrt {1-x^2} \, дуплекс = \frac {\pi} {2}

и

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \int _ {-1} ^1\frac {1} {\sqrt {1-x^2}} \, дуплекс = \pi

дает половину окружности круга единицы. [80] Более сложные формы могут быть объединены как твердые частицы революции. [82]

Из определения круга единицы тригонометрических функций также следует за этим, у синуса и косинуса есть период 2 π. Таким образом, для всего x и целых чисел n, грешите (x) = грех (x + 2πn) и потому что (x) = потому что (x + 2πn). Поскольку грех (0) = 0, грех (2πn) = 0 для всех целых чисел n. Кроме того, угловая мера 180 ° равна π радианам. Другими словами, 1 ° = (π/180) радианы.

В современной математике π часто определяется, используя тригонометрические функции, например как самый маленький положительный x для который грех x = 0, чтобы избежать ненужной зависимости от тонкости Евклидовой геометрии и интеграции. Эквивалентно, π может быть определен, используя обратные тригонометрические функции, например как π = 2 arccos (0) или π = 4 arctan (1). Расширяя обратные тригонометрические функции, поскольку ряд власти - самый легкий способ получить бесконечный ряд для π.

Комплексные числа и исчисление

Формула Юлера изображена в сложном самолете. Увеличение угла φ к π радианам (180 °) приводит к личности Юлера.

Комплексное число, Неудавшееся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): z

может быть выражен в полярных координатах следующим образом:
Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): z = r\cdot (\cos\varphi + i\sin\varphi)


Частое появление π в сложном анализе может быть связано с поведением показательной функции сложной переменной, описанной формулой Юлера

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): e ^ {i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!


где я - воображаемая единица, удовлетворяющая i2 = −1, и e ≈ 2.71828 является числом Юлера. Эта формула подразумевает, что воображаемые полномочия e описывают вращения на круге единицы в сложном самолете; у этих вращений есть период 360 ° = 2 π. В частности 180 ° вращений φ = π приводят к личности замечательного Юлера

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): e ^ {я \pi} =-1. \!


Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): e ^ {я \pi} + 1 = 0. \!

Личность Юлера известна соединением нескольких основных математических понятий в одном кратком, изящном выражении.

Есть n различные энные корни единства

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): e ^ {2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).


Гауссовский интеграл

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \int _ {-\infty} ^ {\infty} e ^ {-x^2} дуплекс =\sqrt {\pi}.


Последствие - то, что гамма функция полуцелого числа - рациональное кратное число √π.

Физика

Хотя не физическая константа, π обычно появляется в уравнениях, описывающих основные принципы Вселенной, в немалой степени благодаря ее отношениям к природе круга и, соответственно, сферические системы координат. Используя единицы, такие как Планк единицы могут иногда устранять π из формул.

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \Delta x \, \Delta p \ge \frac {h} {4\pi}

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): R _ {ik} - {г _ {ik} R \over 2} + \Lambda г _ {ik} = {8 \pi Г \over c^4} T _ {ik}

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \Lambda = 8\pi G\\rho _ {vac}

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): F = \frac {\left|q_1q_2\right |} {4 \pi \varepsilon_0 r^2}

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \mu_0 = 4 \pi \cdot 10 ^ {-7} \, \mathrm {N/A^2} \,

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \frac {P^2} {a^3} = {(2\pi) ^2 \over Г (M+m)}


Вероятность и статистика

В вероятности и статистике, есть много распределений, формулы которых содержат π, включая:

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): f (x) = {1 \over \sigma\sqrt {2\pi}} \, e ^ {-(x-\mu) ^2 / (2\sigma^2)}

Подведенный, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый;

пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): f (x) = \frac {1} {\pi (1 + x^2)}.


Отметьте что с тех пор Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \int _ {-\infty} ^ {\infty} f (x) \, дуплекс = 1

для любой функции плотности вероятности f (x), вышеупомянутые формулы могут использоваться, чтобы произвести другие составные формулы для π. [90]

Проблема иглы Буффона иногда указывается в качестве эмпирического приближения π в "популярной математике" работы. Рассмотрите понижение иглы длины L неоднократно на поверхности, содержащей параллельные линии оттянутые единицы S обособленно (с S > L). Если игла понижена n времена и x тех времен, это останавливается, пересекая линию (x > 0), то можно приблизить π, используя метод Монте Карло: [91] [92] [93] [94] Неудавшийся, чтобы разобрать (Отсутствующий texvc выполнимый; пожалуйста, см. math/README, чтобы формировать.): \pi \approx \frac {2nL} {xS}.

Хотя этот результат математически безупречен, он не может использоваться, чтобы определить больше чем очень немного цифр π экспериментом. Достоверно получая только три цифры (включая начальную букву "3") право требует миллионов бросков, [91], и число бросков растет по экспоненте с числом желаемых цифр. Кроме того, любая ошибка в измерении длин L и S перейдет непосредственно к ошибке в приближенном π. Например, различие единственного атома в длине 10-сантиметровой иглы обнаружилось бы вокруг 9-ой цифры результата. Практически, неуверенность в определении, пересекает ли игла фактически линию, когда это, кажется, точно касается этого, ограничит достижимую точность намного меньше чем 9 цифрами.

Геоморфология и теория хаоса

При идеальных условиях (однородный пологий откос на гомогенно эрозийном основании), отношение между фактической длиной реки и его прямолинейным от источника до длины рта имеет тенденцию приближаться к . [95] Альберт Эйнштейн был первым, чтобы предложить, чтобы у рек была тенденция к когда-либо более сдвинутому пути, потому что малейшая кривая приведет к более быстрым потокам на внешней стороне, которая в свою очередь приведет к большему количеству эрозии и более острому изгибу. Чем более острый изгиб, тем быстрее потоки на внешнем краю, чем больше эрозия, тем больше река будет крутить и так далее. Однако, увеличение сдвинутости приведет к рекам, загибающим на себе и эффективно срывании, создавая озеро ярмо. Баланс между этими двумя противостоящими факторами приводит к среднему отношению π между фактической длиной и прямым расстоянием между источником и ртом. [96]

В массовой культуре

"Пирог пи", чтобы праздновать День Пи

Получивший Нобелевскую премию поэт Wisława Сзимборска написал стихотворение о π, и здесь является выдержкой: [97]

Автоприцеп цифр, который является пи
не останавливается на краю страницы,
но убегает стол и в воздух,
по стене, листу, птичьему гнезду, облакам, прямо в небо,
через всю вздутость и безграничность.
О, насколько короткий, почти мышеподобный хвост кометы!

Много школ во всем мире отмечают День Пи (14 марта, от 3.14). [98] По крайней мере одно приветствие в Массачусетском технологическом институте включает "3.14159!" [99]

7 ноября 2005, альтернативный музыкант Кейт Буш выпустил Антенну альбома. Альбом содержит песню "π", чья лирика состоит преимущественно из Буша, поющего цифры π к музыке, начинаясь "3.14". [100]

В новом Контакте Карла Сэгэна π играл ключевую роль в истории. Роман предположил, что было сообщение, похороненное глубоко в пределах цифр π, помещенного там тем, кто бы ни создал вселенную. Эта часть истории была опущена от экранизации романа. Фильм Даррена Аронофски Пи имеет дело с теоретиком числа.

См. также

Список чиселИррациональные и подозреваемые иррациональные числа
γζ (3)√2√3√5φρδSαeπδ

Ссылки

  1. ^ См., например, Lennart Berggren, Джонатан М. Борвеин, и Питер Б. Борвеин (редакторы)., Пи: Исходная Книга. Спрингер, 1999 (2-ой редактор). ISBN 978-0-387-98946-4.
  2. ^ См. Альфреда С. Позэментира и Ингмара Леманна, Пи: Биография Самого таинственного Числа В мире. Книги прометея, 2004. ISBN 978-1-59102-200-8.
  3. ^ Например, MSNBC, Человек рассказывает пи по памяти к 83 431 месту 3 июля 2005; Мэтт Шудель, Некрологи: "Джон В. Ренч, младший: у Математика Был Вкус к Пи" Washington Post, 25 марта 2009, p. B5.
  4. ^ Большой Вопрос: Как близко мы приехали в знание точной ценности пи? "Индепендент", 8 января 2010
  5. ^ Пи, математическая история, которая заняла бы 49 000 лет, чтобы сказать
  6. ^ Холтон, Дэвид; Mackridge, Питер А.; Philippaki-Warburton, Ирен (2004). Греческий язык: существенная грамматика современного языка. Routledge существенные грамматики. Routledge. p. xi. ISBN 0415232104.  
  7. ^ b c d "О Пи". Спросите часто задаваемые вопросы доктора Мэта. http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html. Восстановленный 29.10.2007.  
  8. ^ "О: Уильям Джонс". Известный валлийский язык. http://www.famousWelsh.com/cgibin/getmoreinf.cgi?pers_id=737. Восстановленный 27.10.2007.  
  9. ^ Comanor, Мильтон; Ральф П. Боус (1976). "Пи". в Уильяме Д. Холси. Энциклопедия угольщика. 19. Нью-Йорк: Macmillan Educational Corporation. стр 21- 22.  
  10. ^ Бен-Менэхем, Ари. Историческая Энциклопедия Естественных и Математических Наук (2009): "Джонс был первым, чтобы использовать π для отношения (периметр/диаметр) круга, в 1706."
  11. ^ Смит, Дэвид Юджин. Исходная книга в математике, Томе I, стр 346-347.
  12. ^ Ричмонд, Беттина (1999-01-12). "Область Круга". Университет Западного Кентукки. http://www.wku.edu/~tom.richmond/Pir2.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  13. ^ Rudin, Уолтер (1976) [1953]. Принципы Математического Анализа (3e редактор). McGraw-Hill. p. 183. ISBN 0-07-054235-X.  
  14. ^ b Майер, Стив. "Превосходство π". http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  15. ^ "Добивание невозможного". сокращение узла. http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml. Восстановленный 04.11.2007.  
  16. ^ A000796: Десятичное расширение Пи, Онлайн-энциклопедия Последовательностей Целого числа
  17. ^ Например, см. “Пи к Большему количеству Десятичных разрядов, Чем Вы будете Когда-либо Нуждаться”, университет Эксетера, Школа Физики, Quantum Physics and Nanomaterials Group (обеспечивает пи одному миллиону цифр).
  18. ^ "Поток предал гласности мировой рекорд пи". http://www.super-computing.org/pi_current.html. Восстановленный 14.10.2007.  
  19. ^ Молодой, Роберт М. (1992). Экскурсии в Исчислении. Вашингтон: Математическая Ассоциация Америки (MAA). p. 417. ISBN 0883853175. http://books.google.com/books?id=iEMmV9RWZ4MC&pg=PA238&dq=intitle:Excursions+intitle:in+intitle:Calculus+39+digits&lr=&as_brr=0&ei=AeLrSNKJOYWQtAPdt5DeDQ&sig=ACfU3U0NSYsF9kVp6om4Zyw3a7F82QCofQ.  
  20. ^ "Статистическая оценка пи, используя случайные векторы". http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000067000004000298000001&idtype=cvips&gifs=yes. Восстановленный 12.08.2007.  
  21. ^ Вайсштайн, Эрик В., "Цифры Пи" от MathWorld.
  22. ^ Boutin, Чад (2005-04-26). "Пи кажется хорошим генератором случайных чисел - но не всегда лучшее". Университет Пердью. http://www.purdue.edu/UNS/html4ever/2005/050426.Fischbach.pi.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  23. ^ Александр Д. Пулэрикас (1999). Руководство формул и таблицы для обработки сигнала. Пресса CRC. p. 9.8. ISBN 9780849385797. http://books.google.com/books?id=aaStYSe6WVcC&pg=PT165&dq=11.001001+different-number-bases&ei=FBXiStjlIZKalASsgoWjDA#v=onepage&q=11.001001%20different-number-bases&f=false.  
  24. ^ "Типовые цифры для hexa десятичных цифр пи". 6 декабря 2002. http://www.super-computing.org/pi-hexa_current.html.  
  25. ^ b Gourdon, Ксавьер; Паскаль Себа. "Коллекция приближений для π". Числа, константы и вычисление. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  26. ^ b A001203: Длительная фракция для Пи, Онлайн-энциклопедии Последовательностей Целого числа
  27. ^ Рывок, Джон. "Развитие расширенных десятичных приближений к π", Учитель Математики, том 53, страницы 644-650 (1960).
  28. ^ b c d О'Коннор, J J; E F Робертсон (2001-08). "История Пи". http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html. Восстановленный 30.10.2007.  
  29. ^ Groleau, Рик (09-2003). "Тайны Бога: Приближение Пи". НОВИНКА. http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  30. ^ Бекман, Петр (1989). История Пи. Публикация Barnes and Noble. ISBN 0880294183.  
  31. ^ Вайсштайн, Эрик В (2007-09-27). "Формулы пи". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html. Восстановленный 10.11.2007.  
  32. ^ Eymard, Пьер; Жан-Пьер Lafon (02 2004). "2.6". Число π. Стивен С. Уилсон (переводчик). Американское Математическое Общество. p. 53. ISBN 0821832468. http://books.google.com/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA53&dq=leibniz+pi&ei=uFsuR5fOAZTY7QLqouDpCQ&sig=k8VlN5VTxcX9a6Ewc71OCGe_5jk. Восстановленный 04.11.2007.  
  33. ^ Lampret, испанцы, Вито (2006). "Даже от ряда Грегори-Лейбница π мог быть вычислен: пример того, как конвергенция ряда может быть ускорена" (PDF). Lecturas Mathematicas 27: 21–25. http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf. Восстановленный 04.11.2007.  
  34. ^ A. ван Виджнгэарден, в: Cursus: Wetenschappelijk Rekenen B, Процесс Анализирует, Стичтинг Мэзэмэтиш Сентрум, (Амстердам, 1965) стр 51-60.
  35. ^ Petrie, W.M.F. Мудрость 1940 года египтян: стр 27
  36. ^ Эдвардс. I.E.S. 1979: Пирамиды Египта: pp269
  37. ^ Джексон и Печать (2002) Пирамида: Вне Воображения. pp153
  38. ^ Лайтбоди, D.I. 2008. Египетская Архитектура Могилы: Археологические Факты Круглой Символики Pharaonic. Британские Археологические Отчеты. pp36
  39. ^ Бекман, Петр (1976). История π. Св. Мартин Гриффин. ISBN 0-312-38185-9.  
  40. ^ "Постоянный π Архимеда". http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  41. ^ Kenda, Маргарет и др. Математическое колдовство для детей, страницы 44 (1995).
  42. ^ C. Boyer, История Математики, Вайли, p. 168.
  43. ^ b c К. Бойер, История Математики, Вайли, p. 202.
  44. ^ Комментарий к Торе Mishneh, начало Eruvin [разъяснение, необходимое]
  45. ^ Ламберт, Йохан Хайнрих (1761). "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires и logarithmiques". Истуар де л'Академи, (Берлин) XVII: стр 265- 322. 1768.  
  46. ^ Найвен, Иван (1947). "Простое доказательство, что π иррационален" (PDF). Бюллетень американского Математического Общества 53 (6): 509. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2. http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf. Восстановленный 04.11.2007.  
  47. ^ Richter, Гельмут (1999-07-28). "Пи Иррационально". Лейбниц Рехенцентрум. http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  48. ^ Jeffreys, Гарольд (1973). Научный Вывод (3-ий редактор). Издательство Кембриджского университета.  
  49. ^ Джордж Э. Эндрюс, Ричард Аски, Раньян Рой (1999). Специальные Функции. Издательство Кембриджского университета. p. 58. ISBN 0521789885.  
  50. ^ Гупта, Р. К. (1992). [Ошибка выражения: Неожиданный <оператор "На остатке называют в сериале Мэдхэва-Лейбницой"]. Ganita Bharati 14 (1-4): 68–71.  
  51. ^ Чарльз Хаттон (1811). Математические Столы; Содержа Общие, Гиперболические, и Логистические Логарифмы.... Лондон: Rivington. p. 13. http://books.google.com/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA13&dq=snell+descartes+date:0-1837&lr=&as_brr=1&ei=rqPgR7yeNqiwtAPDvNEV.  
  52. ^ Cuyt, Энни и др. Руководство длительных фракций для специальных функций, страницы 176 (2008).
  53. ^ Нью-Йорк Таймс: Даже Математики Могут быть Унесены
  54. ^ "Определение {ENIAC} пи и e больше чем к 2000 Десятичных разрядов", Математические Столы и Другой СПИД к Вычислению, 4 (29), стр 11-15. (Январь 1950)
  55. ^ "Статистическая Обработка Ценностей Первых 2 000 Десятичных цифр e и пи, Расчетного на ENIAC", Математические Столы и Другой СПИД к Вычислению, 4 (30), стр 109-111. (Апрель 1950)
  56. ^ b "Постоянный π: Ramanujan печатают формулы". http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html. Восстановленный 04.11.2007.  
  57. ^ Брент, Ричард (1975). "Методы обнаружения ноля многократной точности и сложность элементарной оценки функции". Аналитическая Вычислительная Сложность (Нью-Йорк: Академическое издание): стр 151- 176. http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html. Восстановленный 08.09.2007.  
  58. ^ Borwein, Джонатан М; Borwein, Питер; Berggren, Lennart (2004). Пи: Исходная Книга. Спрингер. ISBN 0387205713.  
  59. ^ "Пи вычисляло к 'номеру записи' цифр". bbc.co.uk. 06.01.2010. http://news.bbc.co.uk/1/hi/technology/8442255.stm. Восстановленный 06.01.2010.  
  60. ^ Одержимые пи японские достигают 2.5 триллионов цифр 2009-08-20
  61. ^ b Стена замка, Дэвид Х.; Borwein, Питер Б.; и Plouffe, Саймон (апрель 1997). "На Быстром Вычислении Различных Многологарифмических Констант" (PDF). Математика Вычисления 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf.  
  62. ^ Bellard, Фабрис. "Новая формула, чтобы вычислить энную двоичную цифру пи". http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html. Восстановленный 27.10.2007.  
  63. ^ Plouffe, Саймон. "Indentities, вдохновленный Портативными компьютерами Рамануджэна (часть 2)". http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf. Восстановленный 10.04.2009.  
  64. ^ Лэнг, Л. Дж. (май 1999). "Изящная Длительная Фракция для π". Американская Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. http://www.jstor.org/stable/2589152.  
  65. ^ Otake, Томоко (2006-12-17). "Как кто-либо может помнить 100 000 чисел?". "Джэпэн Таймс". http://search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html. Восстановленный 27.10.2007.  
  66. ^ "Мир пи, Оценивающий Список". http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.htm. Восстановленный 27.10.2007.  
  67. ^ "Китайский студент побил рекорд Guiness, рассказывая 67 890 цифр пи". Новости Гуандун. 28.11.2006. http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm. Восстановленный 27.10.2007.  
  68. ^ Профессор Андрей Слюсарчук установил мировой рекорд по возможностям человеческой памяти http://www.mk.ru/health/303812.html?phrase_id=1446233
  69. ^ Вайсштайн, Эрик В. "Игра слов пи." От Веб-ресурса Вольфрама MathWorld—A. Восстановленный 12.03.2009.
  70. ^ Borwein, Джонатан М (2005-09-25). "Жизнь Пи: От Архимеда к Eniac и Вне" (PDF). Университет Дэлхоузи Информатика. http://users.cs.dal.ca/~jborwein/pi-culture.pdf. Восстановленный 29.10.2007.  
  71. ^ Кит, Майк. "Cadaeic Cadenza Notes & Commentary". http://www.cadaeic.net/comments.htm. Восстановленный 29.07.2009.  
  72. ^ Луи, Yicong (2004-05-19). "О мой, запоминая очень много цифр пи.". Серебряный Жареный картофель Онлайн. http://silverchips.mbhs.edu/inside.php?sid=3577. Восстановленный 04.11.2007.  
  73. ^ Raz A, МГ Packard, GM Александра, Buhle JT, Чжу Х, Ю С, Петерсон БС. (2009). Часть пи: исследовательское neuroimaging исследование кодирования цифры и поиска в превосходящем memorist. Neurocase. 6:1-12. doi:10.1080/13554790902776896 PMID 19585350
  74. ^ Вайсштайн, Эрик В (2005-12-22). "Нормальное Число". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html. Восстановленный 10.11.2007.  
  75. ^ Preuss, Пол (2001-07-23). "Действительно ли Цифры Пи случайны? Исследователь лаборатории Мей Держит Под Контролем". Лоуренс Беркли Национальная Лаборатория. http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html. Восстановленный 10.11.2007.  
  76. ^ Петерсон, Ivars (2001-09-01). "Модное пи: Математики занимаются кажущейся хаотичностью цифр пи". Научные Новости Онлайн. http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp. Восстановленный 10.11.2007.  
  77. ^ Нестеренко, Юрий V (1996). [Ошибка выражения: Неожиданный <оператор "Модульные Функции и проблемы Превосходства"]. Comptes rendus де л'Академи des науки Série 1 322 (10): 909–914.  
  78. ^ Говард Уитли Эвес (1969). Введение в Историю Математики. Holt, Rinehart & Winston. http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1.  
  79. ^ "Японский язык побил рекорд памяти пи". BBC News. 02.07.2005. http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/asia-pacific/4644103.stm. Восстановленный 30.10.2007.  
  80. ^ b "область и Окружность Круга Архимедом". Государственный университет Пенсильвании. http://www.math.psu.edu/courses/maserick/circle/circleapplet.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  81. ^ Вайсштайн, Эрик В (2006-01-28). "Дисковый Интеграл единицы". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/UnitDiskIntegral.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  82. ^ Вайсштайн, Эрик В (2006-05-04). "Тело Революции". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SolidofRevolution.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  83. ^ Imamura, Джеймс М (2005-08-17). "Принцип Неуверенности Heisenberg". Университет Орегона. http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html. Восстановленный 09.11.2007.  
  84. ^ Эйнштейн, Альберт (1916). "Фонд Общей теории относительности" (PDF). Annalen der Physik. http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html. Восстановленный 09.11.2007.  
  85. ^ Перкинс, Дональд Х. (2009). Астрофизика частицы. Оксфордский ряд владельца в физике элементарных частиц, астрофизике, и космологии. 10 (2-ой редактор). Издательство Оксфордского университета. p. 184. ISBN 0199545456.  
  86. ^ Неф, К. Род (2005-06-28). "Константа кулона". HyperPhysics. Университет штата Джорджия. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3. Восстановленный 09.11.2007.  
  87. ^ "Магнитная константа". NIST. 2006 CODATA рекомендовали ценности. http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0. Восстановленный 09.11.2007.  
  88. ^ Вайсштайн, Эрик В (2004-10-07). "Гауссовский Интеграл". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  89. ^ Вайсштайн, Эрик В (2005-10-11). "Распределение Cauchy". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  90. ^ Вайсштайн, Эрик В (2003-07-02). "Функция вероятности". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html. Восстановленный 08.11.2007.  
  91. ^ b Вайсштайн, Эрик В (2005-12-12). "Проблема Иглы Буффона". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html. Восстановленный 10.11.2007.  
  92. ^ Bogomolny, Алекс (2001-08). "Математические Неожиданности: Пример". сокращение узла. http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml. Восстановленный 28.10.2007.  
  93. ^ Ramaley, Дж. Ф. (октябрь 1969). [Ошибка выражения: Неожиданный <оператор "проблема Лапши Буффона"]. Американская Mathematical Monthly 76 (8): 916–918. doi:10.2307/2317945.  
  94. ^ "Алгоритм/метод Монте Карло". datastructures. 09.01.2007. http://www.datastructures.info/the-monte-carlo-algorithmmethod/. Восстановленный 07.11.2007.  
  95. ^ Ганс-Хенрик Стылум (1996-03-22). [Ошибка выражения: Неожиданный <оператор "Река, Блуждающая как Самоорганизационный Процесс"]. Наука 271 (5256): 1710–1713. doi:10.1126/science.271.5256.1710.  
  96. ^ Калеем Омар (2002-12-10). "Поэтическая вольность: Пи вычисляло к 1.24 триллионам цифр". Ежедневные Времена. http://www.dailytimes.com.pk/default.asp?page=story_10-12-2002_pg3_8. Восстановленный 11.12.2009.  
  97. ^ Szymborska, Wislawa. Стихи, Новые и Собранные, страница 174 (2001).
  98. ^ Дневные действия пи.
  99. ^ Массачусетский технологический институт, E к U.
  100. ^ Blatner, Дэвид (2008-03-14). "Великобритания | Журнал | 3.14 и остальные". BBC News. http://news.bbc.co.uk/1/hi/magazine/7296224.stm. Восстановленный 02.01.2010.  

Внешние ссылки

pnb: پائی pcd:Pi

Восстановленный от "http://ks312089.kimsufi.com../../../../es/p/i/_/Pi.html"